두 자연수의 고유 약수의 합이 서로 상대방이 되는 특별한 수 쌍과 그 일반화에 대한 개요
쿠이즈네르 막대를 이용해 첫 번째 우애수쌍 (220, 284)의 관계를 보여주는 그림.
수학에서 우애수(amicable numbers)는 서로 다른 두 자연수로, 각 수의 고유 약수(자기 자신을 제외한 양의 약수)의 합이 상대방 수와 같아지는 경우를 말한다. 즉, (s(a) = b), (s(b) = a)를 만족하는 두 수 (a,b)를 뜻한다. 여기서 (s(n) = \sigma(n) - n)은 (n)의 모든 양의 약수들의 합에서 (n) 자신을 뺀 값이며, (\sigma(n))은 약수 함수이다.
가장 작은 우애수쌍은 (220, 284)이다. 220의 고유 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110이고, 이들의 합은 284이다. 284의 고유 약수는 1, 2, 4, 71, 142이고, 이들의 합은 220이다.
처음 열 개의 우애수쌍은 다음과 같다.
(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992)
이 수열은 OEIS에서 A259180로 등재되어 있다. 우애수쌍이 무한히 많이 존재하는지는 알려져 있지 않다.
우애수쌍 하나는 주기 2인 앨리컷 수열을 이룬다. 이와 관련된 개념으로 완전수가 있는데, 이는 자신의 고유 약수의 합과 자기 자신이 같은 수, 즉 주기 1인 앨리컷 수열을 이루는 수이다. 주기가 2보다 큰 앨리컷 수열의 원소들은 [사교수](https://en.wikipedia.org/wiki/Sociable_number "Sociable number", sociable numbers)라고 부른다.
수학의 미해결 문제
우애수는 무한히 많이 존재하는가?
우애수는 피타고라스 학파에게 이미 알려져 있었고, 그들은 우애수에 다양한 신비적 성질을 부여했다. 9세기경 이라크의 수학자 타비트 이븐 쿠라(Thābit ibn Qurra, 826–901)가 이들 수를 일부 생성할 수 있는 일반 공식(정리)을 발견했다. 우애수를 연구한 다른 아랍 수학자로는 알마즈리티(1007년 사망), 알바그다디(980–1037), 알파리시(1260–1320)가 있다. 이란의 수학자 무함마드 바키르 야즈디(16세기)는 (9363584, 9437056) 쌍을 발견했으나, 이 발견은 종종 데카르트에게 귀속되곤 한다.[[1]] Much of the work of 동방 수학자들의 공헌 상당수는 후대에 거의 잊혀졌다.
타비트 이븐 쿠라의 공식은 이후 페르마(1601–1665)와 데카르트(1596–1650)에 의해 재발견되었고, 흔히 그들에게 귀속되기도 한다. 이후 오일러(1707–1783)가 이를 일반화하였다. 다시 1972년 보르호가 한층 더 확장하였다. 페르마와 데카르트는 아랍 수학자들이 알고 있던 우애수쌍들도 재발견했다. 오일러는 수십 개의 새로운 우애수쌍을 발견했다.[[2]] 두 번째로 작은 우애수쌍 (1184, 1210)은 1867년에 16세의 B. 니콜로 I. 파가니니(작곡가이자 바이올리니스트인 파가니니와는 다른 인물)가 발견했는데, 이는 이전의 수학자들에게 간과되어 왔던 것이다.[[3]][[4]]
| # | m | n |
|---|---|---|
| 1 | 220 | 284 |
| 2 | 1,184 | 1,210 |
| 3 | 2,620 | 2,924 |
| 4 | 5,020 | 5,564 |
| 5 | 6,232 | 6,368 |
| 6 | 10,744 | 10,856 |
| 7 | 12,285 | 14,595 |
| 8 | 17,296 | 18,416 |
| 9 | 63,020 | 76,084 |
| 10 | 66,928 | 66,992 |
현재 알려진 우애수쌍은 10억 개가 넘는다.[[5]]
이 절에서 소개하는 규칙들은 일부 우애수쌍을 만들어 내지만, 다른 형태의 우애수쌍들도 많이 알려져 있으므로 결코 포괄적인 규칙은 아니다.
특히 아래 두 규칙은 짝수인 우애수쌍만을 생성하므로, (210 = 2·3·5·7)과 서로소인 우애수쌍을 찾는 미해결 문제에는 직접적인 도움을 주지 못한다. 한편 (30 = 2·3·5)과 서로소인 우애수쌍은 1000쌍 이상 알려져 있다(García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004) 참조).
**타비트 이븐 쿠라 정리(Thābit ibn Qurrah theorem)**는 9세기에 아랍 수학자 타비트 이븐 쿠라가 고안한 우애수 발견 방법이다.[[6]]
정리의 내용은 다음과 같다. 정수 (n>1)에 대해, 다음과 같이 정의된
[ \begin{aligned} p &= 3 \times 2^{n-1} - 1,\ q &= 3 \times 2^{n} - 1,\ r &= 9 \times 2^{2n-1} - 1 \end{aligned} ]
이 모두 소수라면, (2^{n} p q)와 (2^{n} r)은 한 쌍의 우애수가 된다. 이 공식은 (n = 2)일 때 (220, 284), (n = 4)일 때 (17296, 18416), (n = 7)일 때 (9363584, 9437056)을 주지만, 이 외의 (n)에 대해서는 알려진 예가 없다. (3 \times 2^{n} - 1) 꼴의 수는 타비트 수라고 불린다. 이븐 쿠라의 공식이 우애수쌍을 만들어 내기 위해서는 연속된 두 타비트 수가 모두 소수여야 하므로, 가능한 (n)의 값이 매우 제한된다.
이 정리를 증명하기 위해 타비트 이븐 쿠라는 두 묶음으로 나뉜 아홉 개의 보조정리(lemma)를 증명했다. 첫 세 개의 보조정리는 자연수의 앨리컷 부분(고유 약수)을 구하는 문제를 다룬다. 두 번째 묶음의 보조정리들은 완전수, 과잉수, 부족수의 형성에 보다 특화되어 있다.[[6]]
**오일러의 규칙(Euler's rule)**은 타비트 이븐 쿠라 정리를 일반화한 것이다. 정수 (n>m>0)에 대해, 다음과 같이 정의된
[ \begin{aligned} p &= (2^{n-m} + 1) 2^{m} - 1,\ q &= (2^{n-m} + 1) 2^{n} - 1,\ r &= (2^{n-m} + 1)^2 2^{m+n} - 1 \end{aligned} ]
이 모두 소수이면, (2^{n} p q)와 (2^{n} r)은 한 쌍의 우애수가 된다.
이때
[ \begin{aligned} pq &= r - (2^{n-m}+1)(2^{n}+2^{m}) + 2\ &= r - ((2^{n-m}+1)(2^{n}+2^{m}) - 2)\ &= r - (p+q) \end{aligned} ]
이므로, 정리하면
[ pq + (p+q) = r ]
을 얻는다.
타비트 이븐 쿠라 정리는 (m = n-1)인 특수한 경우에 해당한다. 오일러의 규칙은 현재까지 ((m,n) = (1,8), (29,40))에서 추가적인 우애수쌍을 만들어 내는 것이 알려져 있을 뿐이다. 오일러는 1747년과 1750년에 걸쳐 총 58개의 새로운 우애수쌍을 발견하여, 당시 알려진 우애수쌍의 수를 61쌍으로 늘렸다.[[2]][[7]]
한편, 우애수쌍 (m, n)에 대해 (m<n)이라고 하자. (g = \gcd(m,n))을 최대공약수라 하고, (m = gM), (n = gN)이라 쓰자. 만약 (M, N)이 모두 (g)와 서로소이고 동시에 [제곱 인수가 없는 수](https://en.wikipedia.org/wiki/Square-free_integer "Square-free integer", square free)라면, 우애수쌍 (m, n)을 정규(regular) 우애수쌍이라 하고(OEIS A215491), 그렇지 않으면 비정규(irregular) 혹은 이국적(exotic) 우애수쌍이라 부른다. (m, n)이 정규이고, (M)과 (N)에 각각 i개, j개의 소인수가 있다면, (m, n)을 **타입 (i, j)**라고 한다.
예를 들어, (m, n) = (220, 284)인 경우 (\gcd(220, 284) = 4)이므로 (M = 55), (N = 71)이다. 따라서 (220, 284)는 타입 (2, 1)의 정규 우애수쌍이다.
우애수쌍 (m, n)이 **쌍둥이(twin)**라는 것은, m과 n 사이의 정수들 가운데 다른 어떤 우애수쌍의 원소도 존재하지 않는다는 뜻이다(OEIS A273259).
지금까지 알려진 모든 우애수쌍에서, 두 수는 모두 짝수이거나 모두 홀수이다. 짝수–홀수로 이루어진 우애수쌍이 존재하는지는 알려져 있지 않다. 다만 만약 존재한다면, 짝수 쪽은 정수의 제곱수이거나 그 두 배이어야 하고, 홀수는 제곱수여야 함이 알려져 있다. 한편 두 수의 최소 소인수가 서로 다른 우애수쌍은 존재하며, 그런 쌍이 일곱 개 알려져 있다.[[8]]
또한 지금까지 알려진 모든 우애수쌍은 적어도 하나의 공통 소인수를 가진다. 서로소인(coprime) 우애수쌍이 존재하는지는 알려져 있지 않지만, 만약 존재한다면 두 수의 곱은 (10^{65})보다 커야 한다는 것이 알려져 있다.[[9]][[10]] 또한 서로소인 우애수쌍은 위에서 설명한 타비트의 공식이나 그와 유사한 공식으로는 생성될 수 없다.
1955년 폴 에르되시는 양의 정수 전체에 대한 우애수의 밀도가 0임을 보였다.[[11]]
1968년 마틴 가드너는 대부분의 짝수 우애수쌍이 합이 9로 나누어 떨어진다는 사실을 지적했고,[12] 이 규칙의 예외들을 특징짓는 규칙(수열 A291550)이 얻어졌다고 보고했다.[[13]]
우애수쌍의 합에 대한 추측에 따르면, 우애수의 개수가 무한대로 갈 때, 우애수쌍의 합 가운데 10으로 나누어 떨어지는 것들의 비율은 100%에 수렴한다고 한다(OEIS A291422).
1만 이하의 모든 우애수쌍은 짝수 쌍이지만, 숫자가 커질수록 홀수 우애수쌍의 비율은 점차 증가하며, 아마도 전체적으로는 홀수 우애수쌍이 짝수 우애수쌍보다 더 많을 것으로 추측된다(OEIS A360054).
또한, 서로 다른 두 우애수쌍에서 하나씩 수를 골라 더한 값이 나머지 둘의 합과 같아지는 예도 존재한다. 예를 들어, (67212 = 220 + 66992 = 284 + 66928)인데, 여기서 (220, 284)와 (66928, 66992)는 두 개의 우애수쌍이다(OEIS A359334).
가우스 정수에 대해서도 우애수쌍이 존재한다.[[14]][[15]] 예를 들어,
(s(8008 + 3960 i) = 4232 - 8280 i), (s(4232 - 8280 i) = 8008 + 3960 i)[[16]]
와 같은 쌍이 있다.
실수 우애수쌍 ((m,n))에 대해서는
[\sigma(m) - m = n, \quad \sigma(n) - n = m]
을 만족하고, 이를 합쳐 쓰면
[\sigma(m) = \sigma(n) = m + n]
이 된다. 이를 k개의 수에 대한 튜플 ((n_1, n_2, \dots, n_k))로 일반화하면, 다음을 요구하게 된다.
[\sigma(n_1) = \sigma(n_2) = \dots = \sigma(n_k) = n_1 + n_2 + \dots + n_k]
예를 들어, (1980, 2016, 2556)은 우애 삼중쌍(amicable triple)이고(OEIS A125490), (3270960, 3361680, 3461040, 3834000)은 우애 4중쌍(amicable quadruple)이다(OEIS A036471).
다중집합(multiset)에 대해서도 우애성이 비슷한 방식으로 정의되며, 이를 통해 개념이 한층 더 일반화된다(OEIS A259307).
사교수(sociable numbers)는 2보다 큰 길이를 가지는 순환 수열로, 각 수가 바로 앞의 수의 고유 약수의 합과 같은 경우를 말한다. 예를 들어,
[1264460 \mapsto 1547860 \mapsto 1727636 \mapsto 1305184 \mapsto 1264460 \mapsto \dots]
은 길이 4의 사교수 수열이다.
앨리컷 수열는 주어진 정수 (n)에 대해 유향 그래프 (G_{n,s})로 표현할 수 있다. 여기서 (s(k))는 (k)의 고유 약수의 합을 의미한다.[[17]]
(G_{n,s})의 사이클은 구간 ([1,n]) 내의 사교수를 나타낸다. 이 가운데 길이가 1인 루프는 완전수를, 길이가 2인 순환은 우애수쌍을 나타낸다.
{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list.이 글은 현재 퍼블릭 도메인에 있는 출판물의 내용을 포함한다: Chisholm, Hugh, 편집 (1911). "Amicable Numbers". Encyclopædia Britannica (11판). Cambridge University Press.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001.
Wells, D. (1987). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin Group. pp. 145–147.
Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Rule". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Euler's Rule". MathWorld.
M. García; J.M. Pedersen; H.J.J. te Riele (2003-07-31). "Amicable pairs, a survey"(PDF). Report MAS-R0307.
Grime, James. "220 and 284 (Amicable Numbers)". Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 2017-07-16. Retrieved 2013-04-02.
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