힐베르트 공간은 함수와 수열을 벡터처럼 다룰 수 있게 해 주며, 선형대수의 도구를 무한차원 함수 공간에 적용할 수 있게 한다.
선형대수의 도구는 유클리드 공간(예: )에서 작업할 때 매우 유용하다. 이런 도구들을 함수나 수열 같은 추가적인 수학적 구성에도 적용할 수 있다면 얼마나 좋을까? _힐베르트 공간_은 바로 이것을 가능하게 해 준다. 즉, 함수에 선형대수를 적용할 수 있게 해 준다.
벡터를 바라보는 방법은 여러 가지가 있다. 표준적인 해석 하나는 순서가 있는 숫자 목록이라는 것이다. 예로 의 한 벡터를 생각해 보자:
이는 인덱스를 가진 세 개의 숫자 목록이다. 는 1.4이고, 는 4.2이며, 이런 식이다. 벡터를 생각하는 또 다른 방법은 엄밀한 수학적 의미에서의 _함수_로 보는 것이다. 의 벡터는 정의역이 (인덱스)이고 공역이 
인 함수이며, 즉:
이제 우리의 벡터가 N차원이라고 상상해 보자: . 함수 표기를 사용하면 라고 쓸 수 있다. 이는 어떤 N에 대해서도 동작하며, 사실 무한한 N에 대해서도 동작한다. 그러면 우리의 벡터는 자연수에서 실수로 가는 함수가 된다: .
하지만 더 나아갈 수도 있다. 인덱스로 임의의 실수를 허용하면 어떨까? 그러면 우리의 벡터는 이고, 더 익숙하게 이름을 바꾸면 가 된다. 이 "벡터"는 단지 실수에서 실수로 가는 함수이다.
모든 원소를 명시적으로 적을 수는 없지만(그 수가 무한하고, 대부분의 인덱스는 유한 표현조차 없는 무리수이기 때문이다), 대신 인덱스를 원소로 대응시키는 규칙을 만들 수 있다. 예를 들어: 는 그런 규칙이다. 주어진 인덱스 _x_마다 값 를 할당한다. 우리는 함수를 벡터로 생각하는 데 익숙하지 않지만, 몇몇 정의를 조심스럽게 확장하면 그것은 충분히 가능하다!
따라서 함수는 무한한 차원을 가진 벡터로 볼 수 있다. 다음 단계는 함수들에 대해 _벡터 공간_을 어떻게 정의할 수 있는지 보는 것이다.
함수들은 표준적인 덧셈과 스칼라 곱 연산과 함께 벡터 공간을 이룬다.
완전한 일반성을 위해, 
를 임의의 집합이라 하고 를 스칼라 체(실수 또는 복소수)라 하자. 
를 에서 로 가는 모든 함수들의 집합이라고 하자. 와 숫자 에 대해, 함수 덧셈과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의한다:
그러면 는 이러한 연산들과 함께 위의 벡터 공간을 이룬다. 증명은 부록 A를 보라.
벡터 공간은 유용하지만, 힐베르트 공간에 도달하여 함수에 대해 더 흥미로운 연산을 하려면 몇 가지 추가 구조가 필요하다.
이제부터는 복소수 값을 갖는 함수로 전환하겠다(실수값 함수는 그저 특수한 경우다). 어떤 함수가 _제곱 적분 가능_하다고 하는 것은 다음이 성립한다는 뜻이다:
이러한 함수들의 집합은 보통 로 표기하며, 앞 절에서 논의한 함수 벡터 공간의 _부분공간_을 이룬다(증명은 부록 B를 보라).
함수의 제곱에 대한 적분은 벡터의 유클리드 노름에 해당한다. 직관적으로 이것은 _길이_의 척도로 작용하며, 벡터에서는 이런 용어를 사용한다. 함수의 경우에는 보통 _에너지_라고 부른다[1].
선형대수 도구상자에서 더 많은 도구를 가져오기 위해, 에서 내적을 정의하자:
왜 이런 방식으로 정의할까? 복소수 값을 가지는 두 N차원 벡터 사이의 내적 정의는 다음과 같다:
익숙해 보이지 않는가? 함수 버전은 그 합을 무한 구간(말하자면 전체 x축)으로 일반화한 것일 뿐이며, 적분을 사용한다.
다음 단계로, 위와 같이 정의된 내적 연산과 함께 가 _내적 공간_임을 보이고자 한다. 이것이 성립하려면 무엇보다도 먼저 의 모든 함수 쌍에 대해 내적이 유한함을 보여야 한다(적분이 수렴하지 않으면 다룰 수 없다). 이는 코시-슈바르츠 부등식의 적분 형태를 사용해 보일 수 있다:
가 에 속하므로, 오른쪽은 유한하고 따라서 내적도 유한하다. 바로 여기서 의 함수들이 제곱 적분 가능하다는 조건이 중요해진다. 제곱 적분 가능하지 않다면 내적을 정의할 수 없었을 것이다.
내적의 다른 성질들도 쉽게 보일 수 있고, 이를 설명하는 자료는 온라인에 많이 있다 [2].
따라서 는 여기 제시한 내적 연산과 결합될 때 내적 공간을 이룬다.
이 내적은 우리 공간의 _노름_을 정의하는 데 사용할 수 있다:
다시 말해, 에 있는 함수들은 제곱 적분 가능하므로 노름이 존재하며, 이것이 노름의 일반적인 요구사항을 모두 만족함을 쉽게 보일 수 있다.
제곱 적분 가능한 함수들의 집합이 올바른 벡터 공간을 이루고, 또한 내적 연산과 결합하면 내적 공간이 되며, 노름도 가진다는 것을 보았다. 그렇다면 선형대수를 하기에 필요한 것이 모두 갖춰진 것일까?
거의 그렇다. 이 공간은 또한 _완비_여야 한다. "완비"라는 용어는 수학에서 매우 많은 뜻으로 쓰이므로, 여기서는 그것이 무엇을 의미하는지 분명히 하는 것이 중요하다. 간단히 말하면, 이 집합에는 "구멍"이 없다는 뜻이다. 즉, 집합 안의 원소들로 이루어진 어떤 수열도 집합 밖의 원소로 수렴하지 않는다 [3]. 조금 덜 간단히 말하면, 어떤 공간이 완비라는 것은 그 공간의 원소들로 이루어진 모든 코시 수열이 수렴한다는 뜻이다.
이제 우리는 실해석학이라는 크고도 고급 주제 깊숙이 들어가게 된다. 리스-피셔 정리는 가 완비임을 보여 준다.
에 완비성이라는 성질까지 더하면, 그것은 _힐베르트 공간_이 된다.
이 맥락에서 바나흐 공간이라는 용어도 들을 수 있다. 바나흐 공간은 힐베르트 공간보다 더 일반적이다. 완비이고 노름을 가진 공간은 바나흐 공간이다(이 노름이 반드시 내적으로부터 올 필요는 없다). 완비인 내적 공간은 힐베르트 공간이다. 힐베르트 공간의 노름은 위에서 본 것처럼 그 내적을 사용해 정의된다.
푸리에 급수는 수학에서 가장 뛰어나고 영향력 있는 아이디어 중 하나다. 이 주제를 더 깊이 파고들고 싶지만, 그러려면 그 자체로 글 하나(혹은 책 한 권)가 필요할 것이다.
간단히 말해, 푸리에 급수는 에 속한 함수들에 대해 정의될 수 있는데, 그 이유는 이들이 힐베르트 공간을 이루기 때문이다. 구체적으로 말하면, 함수에 대한 내적은 에서의 _직교성_과 기저 벡터 개념을 정의할 수 있게 해 준다. 그런 다음 이것들을 이용해 임의의 함수를 공간을 생성하는 기저 함수들의 급수에 대한 가중합으로 표현한다. 또한 공간의 완비성은 푸리에 급수가 실제로 그 공간 안의 함수로 수렴함을 보장한다.
흥미롭게도 Fourier는 해석학이 성숙하고 힐베르트 공간이 정의되기 수십 년 전에 이런 아이디어를 제시했다. 그래서 당시의 많은 수학자들(특히 Lagrange)은 푸리에 이론이 충분히 엄밀하지 않다고 반대했다. 그러나 이 이론은 많은 유용한 상황에서 훌륭하게 작동했고, 이후 함수해석학의 발전이 그것을 더 견고한 이론적 토대 위에 올려놓는 데 도움을 주었다.
내가 매우 멋지다고 생각하는 또 다른 관련 예가 있다. 이 이론이 함수에 선형대수의 도구를 적용하는 데 도움을 준다고 언급했는데, 일반화된 푸리에 급수는 이를 아주 잘 보여 준다.
대부분의 사람들은 삼각함수 푸리에 급수에 익숙하지만, 이 이론은 더 일반적이며 벡터 공간의 기저를 이루는 임의의 상호 직교 함수 집합에 적용된다. 다항식 푸리에 급수도 있을까? 그렇다. 그리고 그것은 선형대수의 고전적 도구 중 하나인 Gram-Schmidt process를 사용해 유도할 수 있다. 그 결과가 Legendre polynomials이다.
다시 말하지만, 이 모든 것은 매우 흥미롭고 앞으로 이 주제에 대해 더 많이 쓸 수 있기를 바란다.
QM에서 입자의 상태는 힐베르트 공간 안의 파동함수로 기술된다. 내적은 확률로 해석될 수 있다. QM 연산자는 그 공간 위의 선형 사상으로 볼 수 있다. 이것은 무한 차원에서 선형대수를 적용하게 해 주고, 유용한 수학적 도구들의 보물상자를 열어 준다.
다시 상기하자면, 우리는 함수들의 집합 를 다루고 있으며, 여기서 는 임의의 집합이고 는 또는 가 될 수 있다. 이 집합 는 집합 원소들 사이의 덧셈과 스칼라 곱과 함께 벡터 공간을 이룬다. 이를 증명하기 위해 벡터 공간의 모든 공리를 증명하자:
벡터 덧셈의 결합법칙:
이는 실수나 복소수에서의 덧셈이 결합적이고, 교환적이며, 기타 성질을 가지기 때문에 매우 매끄럽게 진행된다.
벡터 덧셈의 교환법칙:
벡터 덧셈의 항등원:
함수 가 덧셈 항등원 역할을 한다:
벡터 덧셈의 역원:
를 덧셈 역원으로 정의하면, 이전과 마찬가지로:
스칼라 곱의 결합법칙:
스칼라 에 대해:
스칼라 곱의 항등원:
스칼라 1을 스칼라 곱의 항등원으로 사용하겠다. 
의 결과는 실수 또는 복소수 스칼라이므로, 다음은 자명하게 성립한다:
스칼라 곱의 벡터 덧셈에 대한 분배법칙:
스칼라 곱의 스칼라 덧셈에 대한 분배법칙:
스칼라 와 에 대해:
가 함수 벡터 공간의 부분공간임을 보이려면, 다음 성질들을 증명해야 한다:
영원소
영원소는 에 속한다:
덧셈에 대한 닫힘성
우리의 함수들은 복소수 값을 가진다는 점을 기억하자. 임의의 두 복소수 에 대해(이 글 참조):
가 성립하고, 또한 임을 보이는 것도 매우 쉽다. 따라서:
이제 이를 바탕으로 와 의 합이 제곱 적분 가능한지 확인해 보자:
값 와 는 그저 복소수이므로, 위의 부등식을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다:
오른쪽의 두 적분이 모두 유한하므로, 왼쪽의 적분도 유한하다.
스칼라 곱에 대한 닫힘성
와 스칼라 가 주어졌을 때:
[1]우리는 총에너지가 유한한 함수들을 다루고 싶다. 이것이 꽤 강한 제한이라는 점에 주의하자! 푸리에 해석에서는 보통 제곱 적분 가능 조건을 유한한 구간 위에서 요구하도록 바꾼다. 그러면 도구들은 여전히 모두 작동하며, 주기함수에 대해 이야기하게 된다.
[2]여기서는 증명을 포함하지 않았는데, 그중 일부는 약간 기술적이며 실해석학의 용어를 필요로 하기 때문이다.
[3]이 조건을 만족하지 않는 집합의 고전적 예는 유리수 집합 인데, 유리수들의 무한합이 무리수가 될 수 있기 때문이다: . 무한합은 까다롭다!
