부등식의 형태

... 🌘 기우는 초승달 아래에서

…대칭은 단지 “예쁜” 형태를 선호하는 취향이 아니다.

Contents

• Introduction

• The HM-AM-GM-QM Inequality

  • The two circles
  • The Semicircle
  • The Container
  • The 3D container

• The Sum of Squares Inequality

• Nesbitt’s Inequality

• Conclusion

Introduction

웹을 무작정 둘러보다가, 이런 멋진 그림을 보게 됐다:

Roland H. Eddy, Memorial University of Newfoundland, Canada, 1985

그리고 이 그림은 내 상상력을 살짝 건드렸고, 그 정도면 이 짧은 글을 쓰기에 충분했다.

부등식에 관한 이전 핸드아웃 글을 쓴 뒤로, 부등식을 기하학적으로 표현할 방법이 있는지(그러니까 고전적인 원, 삼각형, 정사각형, 정육면체, 직육면체 같은 것들로) 찾아보고 싶었다. 그래서 이것저것 파고 즉흥적으로 시도해 보면서, 대체로 대수와 해석에서 다루는 내용에 대해 사람들이 기하학적 직관을 얻을 수 있도록 몇 가지 애니메이션을 만들어 보았다.

몇몇 애니메이션은 표준적이고, 적절한 학교에서는 실제로 가르치는 내용이다. 하지만 다른 것들은 나름의 독창성이 있다. 그런 것들은 실제로 펜과 종이, 그리고 내 상상력만으로 아이디어를 발전시켰다. 누군가가 이미 했던 것이라면 괜찮다. 기본 수학에서 “진짜” 독창성을 주장할 만큼 내가 어리석지는 않다. 지난 2000년 동안 이 길은 이미 수없이 밟혀 왔다.

The HM-AM-GM-QM Inequality

이건 학창 시절에 가장 자주 마주치는 부등식 사슬이다. 혹시 잊었을까 봐 상기시키자면, 세 수 $a,b,c>0$에 대한 간단한 형태는 다음과 같다:

$\underbrace{\frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}}_{\text{HM}} \leq \underbrace{\sqrt[3]{abc}}_{\text{GM}} \leq \underbrace{\frac{a+b+c}{3}}_{\text{AM}} \leq \underbrace{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}}_{\text{QM}}$

또는 더 단순한 두 변수 경우:

$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

이 “알파벳 수프”를 해독하자면, 각 글자는 다음을 의미한다:

• HM = Harmonic Mean: 훈련되지 않은 눈에는 직관에 반하는 듯하지만, 이 평균은 우리 우주에 새겨진 법칙들 속에 실제로 등장한다. 예를 들어, 점 A에서 점 B로 속도 $v_1$로 갔다가, 돌아올 때 속도 $v_2$로 온다면 평균 속도는 얼마일까? 못하는 학생은 $v_{\text{avg}}=\frac{v_1+v_2}{2}$라고 하겠지만, 잘하는 학생은 실제로 조화평균이라는 걸 안다: $v_{\text{avg}} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$.

• GM = Geometric Mean: “성장”의 평균으로, 스케일링과 복리(곱셈적 누적)에 유용하다. HM처럼 이것도 자연과… 단순한 금융에 등장한다. 예를 들어, 주식 투자자라고 하자. 첫해에 포트폴리오가 100% 성장했지만, 다음 해에 시장이 50% 폭락했다면, _평균 성장률_은 얼마였을까?

  • 수학에 약한 투자자는: $\frac{100 + (-50)}{2} = 25\%$라고 말할 것이다.
  • 수학을 아는 투자자는 성장 배수를 본다. 첫해 배수는 2.0, 둘째 해는 0.5. 그런 다음 이렇게 평균을 낸다: $\text{Average Growth Factor} = \sqrt{2.0 \times 0.5} = 1.0$
  • 이는 평균 성장률이 실제로 0%라는 뜻이다. 정확히 시작점으로 돌아온 것이다. 솔직히 말해, 이 정도면 대부분의 트레이더보다 낫다.

• AM = Arithmetic Mean: 모두가 알고 좋아하는 고전적 평균. 물론 평균 수식에 “좋아한다”는 말은 좀 과하긴 하다.

• QM = Quadratic Mean: _Root Mean Square (RMS)_라고도 하며, 예를 들어 전기공학에서 등장한다.

  • 유럽에서는 전압이 230V로 표기된다. 하지만 이것은 사람들이 생각하는 실제 평균 전압이 아니다. 실제 값은 _RMS_로 정해진다.

이제 더 명확해졌으니, 이 부등식 사슬을 기하학적 눈으로 보자. 사물이 살아나는 모습은 정말 놀랍다.

The two circles

첫 번째 애니메이션은 사실 내가 그 그림에서 봤던 것이다.

중심이 $O$이고 지름이 $a$인 큰 원이 주어진다. 즉 반지름은 $R = \frac{a}{2}$이다. 그리고 중심이 $O'$인 더 작은 원이 있는데, 이 원은 큰 원의 둘레에 바깥쪽에서 접한다. 이 두 번째 원의 지름은 $b$이므로 반지름은 $r = \frac{b}{2}$이다. 작은 원의 중심 $O'$를 $O$를 지나는 수직선에 정사영하고, 그 점을 $P$라고 하자.

O O

O′O'

P P

a a

b b

$\frac{a+b}{2}$

$\sqrt{ab}$

$\frac{a-b}{2}$

직각삼각형 $OPO'$가 다음 길이로 만들어진다:

• 빗변 $OO'$는 반지름의 합: $\frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$.
• 수평 변 $OP$는 반지름의 차: $\frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}$.
• 수직 변 $O'P$.

$O'P$를 구하려면 피타고라스 정리를 쓰면 된다:

$(O'P)^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = ab \implies ⟹O'P = \sqrt{ab}$

$OO'$는 $a,b$에 대한 AM이고, $O'P$는 $a,b$에 대한 GM이다. GM(한 변)이 항상 AM(빗변)보다 작다는 걸 알 수 있다. 특별히 두 원의 크기가 같을 때($a=b$)는 $OP$가 0이 되고, GM이 AM과 일치한다. 아름답다!

The Semicircle

이건 “교실” 전략, 즉 내가 학교에서 배웠던 시각화다.

중심이 $O$이고 전체 지름이 $a+b$인 반원에서 시작한다. 둘레 위의 한 점 $P$를 잡고, 이를 지름 위의 점 $P'$로 수직 투영한다. 그러면 직각삼각형 $POP'$가 만들어진다(문자도 일부러 그림이 “튀도록” 골랐다).

$\frac{a+b}{2}$

$\sqrt{ab}$

a a

b b

$\frac{|a-b|}{2}$

O O

A A

B B

P P

P′P'

이 삼각형에서:

• 수평 변은 $OP' = \frac{|a-b|}{2}$.
• 빗변 $OP$는 반지름이며, 지름의 절반이므로 $OP = \frac{a+b}{2}$.

이제 수직 선분 $PP'$를 구해야 하는데, 피타고라스 정리를 쓰면:

$PP' = \sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{ab}$

요컨대 앞과 같은 아이디어를 다른 “메커니즘”으로 보는 것이다. 길이 $a+b$인 지름을 두 구간 $a$와 $b$로 나눈다.

애니메이션에서 분할점을 움직이면, _기계장치_가 작동하는 게 쉽게 보인다: 파란 선(GM= $PP'$)은 항상 원 안에 갇혀 있으니 빨간 반지름(AM= $OP$)보다 커질 수 없다. 둘이 같은 높이가 되는 건 꼭대기에서 $a=b$일 때뿐이다.

이제 더 복잡하게, 그림에 QM(Quadratic Mean)을 추가해 보자. 이를 위해서는:

• 지름 $a+b$에 수직인 반지름 $OM$을 그린다. $OM$은 반지름이므로 $OM = \frac{a+b}{2}$.
• 점 $M$과 $P'$를 선분으로 잇는다.

$\frac{a+b}{2}$

$\frac{a+b}{2}$

$\sqrt{ab}$

$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

a a

b b

$\frac{|a-b|}{2}$

O O

A A

B B

P P

P′P'

M M

그림을 보면 새 직각삼각형 $MOP'$가 만들어지고, 두 직각변은:

• $OM = \frac{a+b}{2}$
• $OP' = \frac{|a-b|}{2}$

빗변 $MP'$는 다시 피타고라스로:

$MP' = \sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

이제 $MP'$가 $a,b$의 QM 역할을 한다는 것을 관찰할 수 있다. $MP'$는 빗변이고 $OM$(반지름/AM)은 한 변이므로, $a=b$가 아닌 한 QM은 항상 반지름보다 크다. 그 특정한 경우에는 $P'$가 중심 $O$로 이동하고 $OP'$가 사라지며 QM = AM이 된다.

마지막으로 HM도 잊지 말자. 이게 가장 미묘하다. 이를 “등장”시키려면 $P'$를 선분 $OP$ 위로 정사영하자. 이 새 투영점을 $N$이라 부르자.

$\frac{a+b}{2}$

$\sqrt{ab}$

$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

$\frac{2ab}{a+b}$

a a

b b

$\frac{|a-b|}{2}$

O O

A A

B B

P P

P′P'

M M

N N

HM에 해당하는 $PN$을 구하려면 직각삼각형 $OPP'$의 성질을 이용한다. $PN$은 직각에서 내린 높이가 빗변을 나눠 만든 부분이므로(잠깐, 사실 여기서는 넓이 또는 닮음을 쓴다!), 계산이 아름답게 떨어진다:

$PN = \frac{PP'^2}{OP} = \frac{(\sqrt{ab})^2}{\frac{a+b}{2}} = \frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

해냈다! 한 반원 안에 전체 “알파벳 수프” 사슬이 들어갔다:

• $PN$은 HM(작은 선분)
• $PP'$은 GM(수직 높이)
• $OP$는 AM(반지름)
• $MP'$는 QM(큰 빗변)

이제 위계가 쉽게 보인다. $a=b$가 아닌 한, 선분들은 항상 자기 차선을 지킨다: $PN < PP' < OP < MP'$. 모든 것이 연결되어 있다. 다시 말하지만, 아름답다!

The Container

이건 AM-GM 부등식의 증명이라기보다, 그 아름다운 결과에 가깝다.

이 시각화 아이디어는 최근에 “Container With Most Water” 문제를 풀면서 떠올랐다. 그 코딩 문제 자체가 부등식과 직접 관련이 있는 건 아니지만, 물을 담는 용기라는 개념이 딱 종을 울렸다…

정사각형인 용기 $ABCD$를 생각하자. 정사각형 한 변의 길이는 $AB = \frac{a+b}{2}$이다. 그러면 정사각형의 넓이는 $\text{Area}_{ABCD} = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$.

이제 두 번째 용기를 도입하자: 가로 $A'B' = a$, 세로 $A'D' = b$인 직사각형 $A'B'C'D'$. 합 $a+b$는 고정해 두고, 이 직사각형을 계속 변형한다고 하자. 즉 $b$에서 조금 가져가면 $a$에 보태고, 그 반대도 마찬가지다. 이 직사각형의 넓이는 $\text{Area}_{A’B’C’D’} = ab$이다.

이 용기에 물을 채운다고 상상해 보자(2D 도형인 건 알지만, 그냥 넘어가자). $A'B'C'D'$가 담을 수 있는 물의 정확한 양은 거의 항상 $ABCD$가 담을 수 있는 양보다 작다. 직사각형을 어떻게 변형해도, 정사각형이 항상 더 우월한 그릇이다.

다음 그림을 보자(파란 영역이 “액체”(곱 $a\cdot b$)를 나타낸다):

$\frac{a+b}{2}$

a a

b b

$A_{\text{square}}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

$\mathbf{A}_{\textbf{rect}}=\mathbf{ab}$

A A

B B

C C

D D

A′A'

B′B'

C′C'

D′D'

직사각형이 변형되는 동안($a+b=\text{constant}$ 조건 하에서) 물 높이는 요동치지만, 물이 정사각형 경계를 넘쳐흐르는 건 물리적으로 불가능하다는 걸 알 수 있다. 액체가 가장자리까지 차는 건 “스트로크의 꼭대기”에서, 바로 $a=b$로 직사각형이 완전한 정사각형이 되는 순간뿐이다. 그 외에는 항상 위쪽에 빈 공간이 남는다.

이 “용기” 실험은 다음의 간단한 관찰로 요약된다:

$\text{Area}_{ABCD} \geq \text{Area}_{A'B'C'D'} \implies \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \geq ab \implies ⟹\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

이는 정확히 AM-GM 부등식이다. 고정된 둘레(또는 합)에서 정사각형은 궁극의 “물 보유자”이며, 직사각형을 얇은 선처럼 늘릴수록 용량은 더 잃게 된다.

The 3D container

2D 도형을 용기로 쓰는 게 불편한 사람들을 위해 3D 버전도 준비했다. 논리는 그대로지만, 이제 넓이를 비교하는 대신 부피를 보자.

한 변의 길이가 $\frac{a+b+c}{3}$인 정육면체를 정의하면, 부피는 $V_{\text{cube}} = \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$이다. 한편, 변의 길이가 $a,b,c$인 직육면체가 있다. 합 $a+b+c$를 일정하게 유지하는 한, 그 직육면체를 어떻게 변형해도(파란 액체의 부피 $abc$), 그것을 정육면체에 부으려 할 때 결코 넘칠 수 없다.

$\frac{a+b+c}{3}$

a a

b b

c c

$\mathrm{V}_{\text{cube}}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$

$\mathbf{V}_{\mathbf{prism}}=\mathbf{abc}$

A A

B B

C C

D D

E E

F F

G G

H H

A′A'

B′B'

C′C'

D′D'

E′E'

F′F'

G′G'

H′H'

앞과 마찬가지로, “프리즘” 용기가 “정육면체” 용기의 가장자리까지 차는 건 $a=b=c$일 때뿐이다. 완벽한 대칭에서 벗어나면 언제나 부피 손실이 생긴다. 수학적으로는:

$\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3 \geq abc \implies \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$

우리가 여기서 보는 건 대수의 이상한 현상이 아니라, 동물과 우주 모두에 내재한 근본적인 “게으름의 법칙”이다. 자연은 효율에 집착하며, 결국 대칭은 게으름의 궁극 형태라는 것이 드러난다.

The Sum of Squares Inequality

아마 “제곱합”으로 단순히 알고 있을 만한 “귀여운” 부등식이 있다:

$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$

이를 증명하는 방법은 여러 가지가 있고, 나는 이미 이전 글들에서 이에 대해 이야기했다: 여기, 여기, 여기… 그리고 여기.

하지만 대수 대신, 이를 정사각형들의 배치로 시각화할 수 있다:

• 한 변의 길이가 $a$인 정사각형 $ABCD$를 상상하자.
• 한 변의 길이가 $b$인 또 다른 정사각형 $BEFG$.
• 한 변의 길이가 $c$인 세 번째 정사각형 $EHIJ$.

이 세 개가 이루는 결합 다각형의 전체 넓이는 정확히 $a^2+b^2+c^2$(부등식의 좌변)이다.

A A

B B

C C

D D

E E

F F

G G

H H

I I

J J

K K

L L

M M

$A_{\text{AHIJFGCD}}=a^2+b^2+c^2$

$A_{\text{ABGM}}+A_{\text{BEFG}}+A_{\text{ABKL}}=ab+bc+ca$

a a

b b

c c

애니메이션처럼 새 선들을 그리면, 새로운 직사각형들이 나타난다:

• 넓이가 $ca$인 $ABKL$
• 넓이가 $ab$인 $ABGM$
• 넓이가 $bc$인 $BEJK$

보는 것처럼 이 넓이들의 합은 $ab+bc+ca$이고, 부등식의 우변과 일치한다.

슬라이더를 조절해 $b$와 $c$를 키워 $a$와 같게 만들면, 두 변 사이의 간극이 사라진다. 결국 $a=b=c$일 때 부등식은 등식이 되고, 세 정사각형이 완벽히 정렬된다… 뭐, 좋다고 하자.

Nesbitt’s Inequality

Nesbitt 부등식은 수학에서 고전적인 결과이며, 다음을 말한다:

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

다양한 증명이 궁금하다면 여기, 여기, 여기를 읽어보길 권한다.

도전 과제로, 기본 도형만으로 Nesbitt 구조를 시각적으로 표현해 볼 수 있을지 시험해 보고 싶었다. 이 특정한 대수 구조는 기하에 그다지 친화적이지 않아서 조금 “실패”하긴 했지만, 상상력과 약간의 문헌을 곁들여 이런 것을 만들었다:

A A

B B

C C

Q Q

M M

N N

P P

M′M'

N′N'

P′P'

x x

y y

z z

0 0

1 1

$\frac{3}{2}$

2 2

$\frac{h-x}{h+x}$

$\frac{h-y}{h+y}$

$\frac{h-z}{h+z}$

핵심 아이디어는 Viviani’s Theorem을 가지고 노는 것이었다. 나는 정삼각형을 먼저 그리고, 내부 점 $Q$에서 각 변까지의 거리의 합이 항상 일정하다는 사실을 이용했다.

이제 선분들을 정의하자:

• $Q$를 $BC$에 수직 투영했을 때의 길이를 $x$라 하자.
• $Q$를 $AC$에 수직 투영했을 때의 길이를 $y$라 하자.
• $Q$를 $AB$에 수직 투영했을 때의 길이를 $z$라 하자.

그러면 $x + y + z = h$이고, 여기서 $h$는 삼각형의 높이다. 이를 Nesbitt와 연결하기 위해 변수 치환을 한다. 원래 Nesbitt 변수 $a,b,c$를 이 거리들의 합으로 정의하자: $a = y + z$, $b = x + z$, $c = x + y$.

이를 원래 부등식에 대입하면, 아름다운 일이 벌어진다.

$y+z$는 “전체 높이에서 $x$를 뺀 것”이므로 $h-x$가 되고, 분모 $b+c$는 $(x+z)+(x+y)=(x+y+z)+x=h+x$가 된다. 따라서 분수들은 변까지의 거리의 함수로 변환된다:

$\frac{h-x}{h+x} + \frac{h-y}{h+y} + \frac{h-z}{h+z} \geq \frac{3}{2}$

애니메이션에서 점 $Q$를 삼각형 안에서 끌어다 놓으면, 사실상 $x,y,z$의 “균형”을 바꾸는 것이다. $Q$가 정확히 중심에 있을 때는 $x=y=z=h/3$. 각 항은 다음이 된다:

$\frac{h - \frac{h}{3}}{h + \frac{h}{3}} = \frac{\frac{2}{3}h}{\frac{4}{3}h} = \frac{1}{2}$

$Q$가 움직이면 대칭이 깨지고 합은 커지기 시작한다. Nesbitt의 세계에서 최소값을 찾을 수 있는 곳이 중심뿐이라는 완벽한 시각적 증명이다. 아름답다!

완벽히 기하 친화적으로 만들지는 못했다고 했지만, 이 시각화는 사실 더 깊은 무언가를 드러낸다. 다만 그것이 무엇인지 정확히 짚어 말할 수는 없다.

Conclusion

이 대수적 구조들을 원, 삼각형, 프리즘에 억지로 끼워 맞추려 하면서 한 가지를 깨달았다. 대부분의 대수적 부등식은 본질적으로 “기하 친화적”이지 않다.

기초를 넘어서면, 기본 기하의 깔끔한 선들은 흐려지기 시작한다. 미적분, 도함수, 다차원 곡선의 기계장치 없이, 컴퍼스와 자만으로 복잡한 대수적 “진실”을 표현하는 건 불가능하게 느껴진다.

하지만 바로 그 지점에 아름다움이 있다. 이런 추상적 공식을 “용기”나 “반원”에 억지로 집어넣음으로써, 우리는 수학의 물리적 골격을 잠깐 엿본다. 그리고 대칭은 단지 “예쁜” 형태를 선호하는 취향이 아니라는 것을 본다.